Identifizierung der räumlich unbestimmten Steifigkeit eines Auslegerträgers

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 1169 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Diese Studie identifiziert inhomogene Steifigkeiten auf zerstörungsfreie Weise anhand simulierter Rauschmessungen einer Strukturreaktion. Die Finite-Elemente-Methode dient als Diskretisierung für die jeweiligen Auslegerbeispielprobleme: statische Belastung und Modalanalyse. Karhunen-Loève-Entwicklungen stellen die Steifigkeits-Zufallsfelder dar. Wir lösen die inversen Probleme mithilfe der Bayes'schen Inferenz auf die Karhunen-Loève-Koeffizienten und führen hiermit eine neuartige Resonanzfrequenzmethode ein. Die flexiblen Beschreibungen sowohl der strukturellen Steifigkeitsunsicherheit als auch der Messrauscheigenschaften ermöglichen eine einfache Anpassung an Messaufbauten und eine Reihe inhomogener Materialien. Die Bewertung der Inversionsleistung für unterschiedliche Steifigkeitskovarianzfunktionen zeigt, dass das statische Analyseverfahren das Modalanalyseverfahren im Mittel übertrifft. Allerdings hängt die Lösungsqualität beim statischen Analyseansatz von der Position innerhalb des Balkens ab, während bei der Modalanalyse die Höhe des Konfidenzintervalls entlang des Balkens konstant bleibt. Eine Untersuchung des Einflusses des Signal-Rausch-Verhältnisses zeigt, dass das statische Belastungsverfahren für die gewählte Konfiguration mit idealen Randbedingungen geringere Fehler liefert als das dynamische Verfahren.

Materialparameter können auf verschiedene Arten identifiziert werden. Die etablierten Methoden können in destruktive und zerstörungsfreie Methoden1 eingeteilt werden. „Zerstörend“ bedeutet, dass der Messkörper beispielsweise bei Zugversuchen plastische Verformungen erfahren hat und somit nach dem Versuch nicht mehr den Produktanforderungen entspricht, also seinen ursprünglichen Zweck nicht mehr erfüllen kann. Häufig werden diese Tests so lange durchgeführt, bis die Probe versagt. Zerstörungsfreie Prüfmethoden bieten eine Möglichkeit, Materialparameter zu identifizieren, während die Probe ihre Eigenschaften behält. Daher werden diese Methoden gerne zur Qualitätskontrolle nach dem Herstellungsprozess eingesetzt, um bestimmte Anforderungen sicherzustellen.

Einerseits sind dynamische Methoden zur Prüfung technischer Materialien beliebt. Stoßecho- oder Transmissionsmessungen mit elastischen Wellen stellen beliebte Methoden im Hochfrequenzbereich zur Bewertung des Wellenbeginns dar2. Die Betrachtung der einzelnen Moden geführter Ultraschallwellen enthält jedoch weitere Informationen3,4,5. Im Allgemeinen entwickeln sich Wellenanpassungsansätze im Hochfrequenzbereich weiter6, wobei die Nutzung der gesamten Wellenform bemerkenswert ist7. In niedrigeren Frequenzbereichen können stehende Wellen genutzt werden. In diesem Fall nutzt das Resonanzfrequenzverfahren die mit den Eigenmoden verbundenen Eigenfrequenzen zur Materialparameteridentifikation oder Defekterkennung8.

Andererseits können statische Methoden als zerstörungsfrei angesehen werden, wenn sie reversibel sind und die Probe linearen elastischen Belastungsbedingungen aussetzen. Eindringversuche und Dehnungsmessungen mit Dehnungsmessstreifen werden ebenso wie viele Wegmesstechniken bei Verfahren eingesetzt, die auf der Oberflächenebene arbeiten. Dabei führt die digitale Bildkorrelation zwischen einem Referenzzustand und dem deformierten Zustand einer Probe zu einem Verschiebungsfeld9, in dem verschiedene Techniken zur Aufnahme der jeweiligen Bilder10 eingesetzt werden können.

Diskontinuitäten wie Defekte oder Risse sind typischerweise die interessierenden Größen für nominell homogene Materialien11. Bei inhomogenen Materialien werden zusätzlich lokale räumliche Variationen der Materialeigenschaften in das System eingeführt12. Abhängig vom Schweregrad der Inhomogenität kann diese einen relevanten Einfluss auf die Systemreaktion haben. Dies gilt sicherlich für technische Materialien wie Holz. Die räumliche Variation der Materialeigenschaften wurde für einzelne Proben quantifiziert13,14. Savvas et al.15 identifizieren die mesoskalige räumliche Variation von Materialeigenschaften anhand mikroskaliger Informationen. Genaue Beschreibungen des räumlichen Verhaltens sind jedoch nicht ohne weiteres verfügbar. Aufgrund dieses Datenmangels geht man standardmäßig von einer zufälligen räumlichen Variation der Materialeigenschaften aus. Diese räumliche Zufälligkeit der Materialeigenschaften kann mit der Theorie der Zufallsfelder beschrieben werden, die in der Literatur ausführlich behandelt wird16,17. Rasmussen und Williams18 ​​machen diese Theorie für die Regression populär, die von Duvenaud19 verallgemeinert wird. Die Integration räumlicher Unsicherheiten mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) wird in der Literatur20,21 behandelt.

Die räumliche Unsicherheit ist daher mit etablierten Methoden zur Unsicherheitsquantifizierung kompatibel22. Sepahvand und Marburg23 demonstrieren dies für die Vorwärtsausbreitung von Unsicherheit in der Strukturdynamik, indem sie Materialeigenschaften als Zufallsfelder darstellen.

Es ist wertvoll, die Empfindlichkeiten der Systemausgänge gegenüber den Systemeingängen zu kennen. Viele zerstörungsfreie Prüfmethoden beinhalten jedoch ein umgekehrtes Problem, wie beispielsweise die Studie zur Elastizitätsbildgebung von Gokhale et al.24. Da sowohl die interessierenden Größen als auch die gemessenen Parameter mit Unsicherheiten behaftet sind, liegt ein natürlicher Ansatz zur Lösung der oben genannten inversen Probleme in der Bayes'schen Inferenz25,26,27.

Die Parameteridentifizierung mithilfe des Bayesian-Frameworks bietet zwei wesentliche Vorteile gegenüber anderen Methoden. Erstens: Wenn nur begrenzte Testdaten zu Parametern vorliegen, bieten uns Bayes'sche Methoden ein optimales Werkzeug zur Quantifizierung der Unsicherheit28. Dies ist von entscheidender Bedeutung, wenn es sich um teure Experimente im Ingenieurwesen handelt. Die Verwendung klassischer frequentistischer statistischer Modelle für solche Situationen liefert nur dann zuverlässige Ergebnisse, wenn die Anzahl der Datenpunkte größer als eine bestimmte Zahl ist, meist 30, oder wenn die Daten streng einer Normalverteilung folgen29. Wenn diese Kriterien nicht erfüllt sind, ist die Validität der mit diesen Methoden erzielten Ergebnisse entweder nicht vertrauenswürdig oder sie weisen ein erhöhtes Maß an Unsicherheit auf.

Zweitens umfasst das Bayes'sche Framework verfügbare Vorabinformationen über Parameter, die das statistische Modell berücksichtigt30. Diese Vorinformationen werden dann durch Informationen aus Beobachtungen aktualisiert. Zu den verfügbaren Quellen für Vorinformationen können Primärdaten, Literatur, Online-Datenbanken und sogar das Wissen von Experten gehören. Dies ist ein wesentliches Argument für den Einsatz von Bayes’schen Methoden in technischen Anwendungen, wo Daten zwar knapp sind, aber Fachwissen über Parameter reichlich vorhanden ist.

Marzouk und Najm31 sind Pioniere bei der Anwendung der Bayes'schen Inferenz auf räumlich variierende Größen von Interesse durch Dimensionsreduktion, die durch die Karhunen-Loève (KL)-Erweiterung erreicht wird. Sie verwenden einen Ersatz für das Vorwärtsmodell, um den Rechenaufwand zu reduzieren, der auf dem Generalized Polynomial Chaos (gPC)21 basiert. Die Entkopplung der räumlichen Diskretisierung des Rechenbereichs von der Zufallsdimensionalität macht inverse Probleme mit größeren Systemen zugänglich.

Sun und You32 bieten einen Überblick über Empfindlichkeiten und Schadensmerkmale im Zusammenhang mit der Modalanalyse im Kontext der zerstörungsfreien Prüfung. Cugnoni et al.33 führen eine deterministische Identifizierung eines Verbundplattenmaterialmodells unter Verwendung der kombinierten Informationen von Eigenfrequenzen und Modenformen durch. Sepahvand und Marburg34,35 berechnen die homogenen elastischen Parameter von Verbundplatten und berücksichtigen dabei die Unsicherheit anhand experimenteller Daten. Beachten Sie den Beitrag von Desceliers et al.36, die die inhomogene Strahlsteifigkeit aus Frequenzgangmessungen unter Verwendung einer Maximum-Likelihood-Schätzung berechnen. Batou und Soize37 betrachten ein zufälliges Feldmaterialmodell, das Modellordnungsreduktion und Maximum-Likelihood-Schätzung bei gegebenen Frequenzgangfunktionen verwendet. Mehrez et al.38 schätzen den Elastizitätsmodul einer Verbundstruktur an einer Reihe von Knoten mit Bayes'scher Inferenz und gPC unter Verwendung von an diesen Knoten erfassten Frequenzantwortfunktionen. Debruyne et al.39 wenden dieses allgemeine Verfahren auf eine Wabenstruktur an.

Diese Studie untersucht die Identifizierung räumlich variierender Strukturflexibilität mithilfe einer dynamischen und einer statischen Methode. Die dynamische Methode ist ein neuartiger dimensionsreduzierter Bayesian-Ansatz zur Identifizierung der elastischen Parameter einer Struktur mithilfe von Resonanzfrequenzinformationen. Die statische Methode folgt einem ähnlichen Schema wie die Forschung von Uribe et al.40, die die Steifigkeitsfelder anhand von Durchbiegungsbeobachtungen rekonstruieren, indem sie eine modifizierte Version des Rahmenwerks von Marzouk und Najm31 verwenden.

Um Vergleichbarkeit und Einblick in die jeweiligen Vorteile der einzelnen Methoden zu ermöglichen, verwenden sowohl die dynamische als auch die statische Methode denselben Aufbau, nämlich einen freitragenden Balken mit räumlich variierender struktureller Flexibilität. Eigenfrequenzen bilden den Ausgangspunkt für die Flexibilitätsermittlung innerhalb der dynamischen Methode, während mit der statischen Belastung verbundene Auslenkungen als Daten für die statische Methode dienen. Für jede Methode wird dann eine Bayes'sche Aktualisierung an einem Finite-Elemente-Methodenmodell des Auslegerbalkens mit unbekannter struktureller Flexibilität durchgeführt, das als Stichprobe eines Gaußschen Zufallsfeldes entlang des Auslegerbalkens betrachtet wird. Die abgeschnittene KL-Erweiterung stellt diese räumlich variierende Flexibilität dar, was zu einer Beschreibung mit reduzierter Zufallsdimensionalität führt. Dank des Bayes'schen Inferenzaufbaus kann dann die Unsicherheit der Lösung zwischen dem dynamischen und dem statischen Ansatz verglichen werden.

Dieses Papier ist wie folgt aufgebaut: „Methoden“ stellt Zufallsfelder und inverse Probleme sowie den Bayes'schen Inferenzaufbau vor, der zwischen dem dynamischen und dem statischen Ansatz gemeinsam ist. „Anwendung des Verfahrens“ beschreibt die Integration sowohl des dynamischen als auch des statischen Auslegermodells in das inverse Problem. Anschließend werden die numerischen Ergebnisse unter „Ergebnisse und Diskussion“ vorgestellt. Im Anschluss an das Fazit und einen Ausblick auf die zukünftige Forschung in „Schlussfolgerung“ stellen wir im Online-Anhang S1 weitere Informationen zur Verfügung.

Diese Studie betrachtet die räumlich zufällige Schwankung von Materialeigenschaften um einen Mittelwert. Die damit verbundene Kovarianz und die Darstellung durch die KL-Entwicklung werden neben dem Bayes-Theorem in „Vorläufige Konzepte“ behandelt. „Prozedur“ behandelt die inverse Problemformulierung und deren Integration in die Bayes'sche Aktualisierung durch Angabe des Parametrisierungs- und Messfehlermodells, das für den Auslegerbalken relevant ist.

Zusammen mit seinem Mittelwert wird ein Zufallsfeld zweiter Ordnung vollständig durch seine Kovarianzfunktion charakterisiert. Der Kovarianzkern \(Cov(t, t')\) ist eine Funktion der Koordinaten zweier Punkte \(t, t'\) innerhalb der Domäne des Feldes, dem begrenzten Intervall [0, L]. Diese Studie berücksichtigt kontinuierliche, symmetrische und positiv semidefinite Kerne, sodass die KL-Erweiterung verwendet werden kann.

Als Kovarianzfunktionen können mehrere Funktionsfamilien verwendet werden. Wir übernehmen den isotropen Exponentialkern aus der Literatur17. Es ist eine Funktion des euklidischen Abstands r und des Längenskalenparameters l as

wobei \(\sigma ^2\) die Varianz18 ist. Es wurde gewählt, weil es analytische Lösungen für das verbundene Eigenwertproblem gibt, die die Überprüfung der entsprechenden numerischen Implementierungen erleichtern41.

Die KL-Erweiterung stellt ein Zufallsfeld dar, indem sie den Mittelwert \(\mu (t)\) des Zufallsfelds berücksichtigt und seine Kovarianzfunktion zerlegt. Diese Methode nutzt deterministische räumliche Funktionen zusammen mit Zufallskoeffizienten \(\xi _i\) zur Darstellung des Zufallsfeldes. Das Abschneiden der KL-Entwicklung nach s Summanden ergibt eine Näherung des Feldes mit einer endlichen Zufallsraumdimensionalität42, so dass

wobei \(\lambda _i\) die Eigenwerte und \(\varphi _i(t)\) die Eigenfunktionen des entsprechenden Kovarianzoperators sind42. Um einen Beispielpfad oder eine Realisierung des Zufallsfeldes zu erhalten, muss eine Stichprobe seiner Parametrisierung \(\varvec{\xi }\) gezogen werden.

Wenn der betrachtete Materialparameter einer Lognormalverteilung statt einer Normalverteilung folgt, können die generierten Stichproben einfach potenziert werden. Allerdings ist die Verallgemeinerung der KL-Entwicklung auf nicht-Gaußsche Zufallsfelder nicht einfach. Dies ist zum Teil darauf zurückzuführen, dass Korrelationen zwischen den Zufallskoeffizienten induziert werden. Wenn geschlossene Transformationen nicht ohne weiteres verfügbar sind, kann eine volldimensionale multivariate Normalverteilung Abhilfe schaffen. Nach der Transformation in [0, 1] mithilfe der Gaußschen Fehlerfunktion kann die inverse kumulative Verteilungsfunktion einer gewünschten willkürlichen Verteilung angewendet werden. Die resultierenden Randverteilungen folgen den vorgeschriebenen Verteilungen und behalten die Stichprobenglätte über den Bereich bei, die der anfänglichen Korrelationsstruktur innewohnt, siehe Vořechovský43.

Das Obige beschreibt die interessierende Größe, die nun als \(\varvec{\theta }\) deklariert wird. Im Folgenden wird die Bayes'sche Inferenz vorgestellt, eine Methode zur Schätzung der interessierenden Menge mithilfe eines Modells, von Daten und Vorwissen. Bayesianische Inferenzansätze versuchen, das inverse Problem zu lösen und dabei Unsicherheiten sowie Vorkenntnisse über die interessierenden Größen und die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten zu berücksichtigen. Im Wesentlichen spiegelt sein Ergebnis, das Posterior, wider, wie neue Daten unsere Überzeugungen über die unbekannten Größen verändern.

Unter Verwendung der Logarithmen der Wahrscheinlichkeiten, um Rechenprobleme zu umgehen, die sich aus der Multiplikation kleiner Zahlen ergeben, und unter Vernachlässigung der Normalisierungskonstante, die den Beweis darstellt, lautet der Satz von Bayes wie folgt

Hier ist q die Posteriorverteilung für \(\varvec{\theta }\) bei gegebenen Daten \(\varvec{d}\), l ist die Wahrscheinlichkeit, die Daten \(\varvec{d}\) bei gegebenem a zu beobachten Modell mit Parametrisierung \(\varvec{\theta }\), und schließlich ist p die Prior-Verteilung auf \(\varvec{\theta }\).

Der Leser wird auf die Literatur verwiesen, die sich mit der Behandlung von drei Hauptproblemen bei der Lösung inverser Probleme befasst: Existenz, Nicht-Einzigartigkeit und Instabilität der Lösung, wobei letzteres auch als schlecht gestellt bezeichnet wird44.

Betrachten Sie ein Vorwärtsmodell (siehe Abb. 1) eines freitragenden Balkens

Hier wird seine strukturelle Flexibilität C(t) als Funktion über dem Balkenbereich [0, L] betrachtet. Der Operator \(\mathscr {G}\) wird verwendet, um diese Funktion in eine Ausgabe \(\varvec{d}\) umzuwandeln. Statische Auslenkungen und Eigenfrequenzen umfassen \(\varvec{d}\) für die statische Analyse bzw. die Modalanalyse. Die gemessene Ausgabe

unterliegt dem Messrauschen \(\varvec{\eta }\). Die Lösung des umgekehrten Problems ist dann

In der Praxis lautet eine endlichdimensionale Darstellung der Flexibilität C(t) basierend auf dem Parametervektor \(\varvec{\theta }\), der aus den KL-Parametern und dem Mittelwert des Flexibilitätsfelds besteht, wie folgt

Dies führt zum diskretisierten numerischen Vorwärtsmodell

Nun, Gl. (3) kann mit \(\varvec{d}=\varvec{d}_{meas}\) und der in gegebenen endlichdimensionalen Parametrisierung \(\varvec{\theta }\) an das vorliegende Problem angepasst werden Gl. (7). Die notwendige Kürzungsreihenfolge der KL-Entwicklung hängt von der Kovarianz ab und ist unabhängig von der im Vorwärtsmodell gewählten räumlichen Diskretisierung. Um s zu bestimmen, sollte das Verhältnis der von der verkürzten KL-Erweiterung abgedeckten Varianz zu der von der vollständigen Erweiterung abgedeckten Varianz mit den empfohlenen Schwellenwertverhältnissen verglichen werden45. Typischerweise beträgt s weniger als 20 und ist deutlich kleiner als die räumliche Diskretisierung der zugrunde liegenden Gleichungen. Diese Reduzierung der Dimensionalität von der räumlichen Diskretisierung auf die Anzahl der KL-Koeffizienten ist entscheidend für die Effizienz einiger Markov Chain Monte Carlo (MCMC)-Algorithmen. Darüber hinaus ermöglicht es die Verwendung von Ersatzmodellmethoden wie gPC31.

Durch die Angabe des Messrauschmodells ermöglicht eine benutzerdefinierte Wahrscheinlichkeit flexible Signal-Rausch-Verhältnisse der Datenkomponenten. Dieses Messfehlermodell geht davon aus, dass der Messvektor \(\varvec{d}_{meas}\) der Dimension \(\kappa\) durch unabhängige Rauschkomponenten gestört wird

mit entsprechenden Varianzen \(\sigma ^2_j\). Für skalarwertige Messungen bei mehreren Frequenzen oder Orten innerhalb der Probe und einem einzelnen Messdurchgang gilt nun die Wahrscheinlichkeit

wird zum Produkt der Grenzwahrscheinlichkeiten seiner Komponenten. Vektorwertige Messungen sowie wiederholte Messungen erfordern Modifikationen von Gl. (10).

Mit festen Entscheidungen für die Wahrscheinlichkeit, das Vorwärtsmodell, seine Parametrisierung und dessen Ausstattung mit Prior-Dichten ist die rechte Seite von Gl. (3) ausgewertet werden kann. Geschlossene Lösungen für die hintere Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind jedoch nur für Sonderfälle mit Konjugation verfügbar. Dies erfordert eine Probenahme aus dem hinteren Bereich, was mithilfe von Markov-Chain-Monte-Carlo-Algorithmen (MCMC) erreicht werden kann. Diese Studie verwendet die von Neal46 formulierte Einzelvariable-Slice-Sampling-Methode. Es wird auf jeden Parameter separat angewendet, während die anderen Parameter fest sind.

In diesem Abschnitt wird die Anwendung der unter „Methoden“ vorgestellten Methoden beschrieben. Insbesondere stellt „Cantilever-Beam-Modell“ das verwendete Cantilever-Beam-Modell vor, während „Modalanalyse“ die Modalanalyse des Systems beschreibt und „Statische Analyse“ die statische Analyse des Systems abdeckt. Nach den Erläuterungen zu diesen Vorwärtsmodellen liefert „Flexibilitätsidentifizierung mithilfe von Eigenfrequenzmessungen aus der Modalanalyse“ das Lösungsverfahren für das inverse Problem basierend auf Modaldaten und „Flexibilitätsidentifizierung mithilfe von Durchbiegungsmessungen aus der statischen Analyse“ detailliert das Verfahren, wenn Durchbiegungsdaten angegeben werden.

Betrachten Sie das in Abb. 1 gezeigte Timoschenko-Auslegermodell, bei dem die Grenzen auf der linken Seite festgeklemmt und auf der rechten Seite frei sind. Der Balken weist die Länge L und einen rechteckigen Querschnitt mit der Fläche \(A = g\cdot h\) auf, wobei die Breite und Höhe des Querschnitts mit g bzw. h bezeichnet werden. Das zweite Flächenmoment wird als \(I = gh^3/12\) berechnet und der Scherkorrekturfaktor \(k_s\) für einen rechteckigen Querschnitt beträgt \(k_s = 5/6\). Das Material des Balkens wird durch den Elastizitätsmodul E und den Schubmodul G unter Berücksichtigung des Hookeschen Gesetzes charakterisiert.

Die Abbildung zeigt eine Seitenansicht des untersuchten Kragarmmodells zusammen mit seinem Profil und dem Koordinatensystem. Das rechteckige Profil weist die Breite g und die Höhe h auf. Die Strahllänge beträgt L. Hier wird die Strahlkoordinate mit t und die Ablenkungskoordinate mit w bezeichnet.

Dieses Problem wird mit der Finite-Elemente-Methode über die SfePy-Python-Bibliothek47 umgesetzt. Die Diskretisierung der Ablenkung w, des Winkels \(\psi\) und der entsprechenden Gewichtungsfunktionen erfolgt mithilfe von Polynomen der Ordnung \(2^\mathrm {{nd}}\), die für jedes Element definiert sind.

Um den räumlich variierenden Elastizitätsmodul E zu modellieren, wird davon ausgegangen, dass er sich zufällig über die Balkenkoordinate t ändert. Der Kehrwert des Elastizitätsmoduls, also die elastische Flexibilität \(C = 1/E\), wird dann als Realisierung eines Gaußschen Zufallsfeldes angenommen, bei dem die Standardabweichung ein Bruchteil des Mittelwerts ist. Die Kovarianzfunktion für die Zufallsflexibilität ist auf der Domäne \(t\in [0,L]\) und einem Exponentialkern mit willkürlich gewählter Korrelationslänge \(l=L/5\) definiert, wie in Gleichung definiert. (1) wird gewählt. Die Kovarianzfunktion wird an den Knoten des Finite-Elemente-Netzes ausgewertet und liefert stückweise konstante Materialeigenschaften, wie für eine grobe beispielhafte Diskretisierung in Abb. 2 dargestellt.

Die Grafik zeigt eine willkürlich gewählte Steifigkeitsverteilung über die Balkenkoordinate an zehn diskreten Positionen innerhalb des numerischen Modells des Auslegerbalkens. Die Diskretisierung ist zur Darstellung bewusst grob gewählt. Da die Steifigkeit Knoten und nicht Elementen zugewiesen wird, sind die Steifigkeiten an den Grenzen halb so breit wie die Steifigkeiten, die inneren Elementen zugewiesen werden.

Der Bereich ist mit 100 finiten Elementen diskretisiert. Daraus ergeben sich 201 Knoten für die Auswertung der Kovarianzfunktion. Die resultierende \(201\times 201\)-Kovarianzmatrix wird zur Synthese des Referenzflexibilitätsvektors verwendet. Die Cholesky-Zerlegung \(\varvec{LL}^\text{T}\) dieser Kovarianzmatrix erreicht die Realisierung der Referenzflexibilität20. Diese alternative Methode wird für das Referenzmodell anstelle der KL-Erweiterung gewählt, um ein inverses Verbrechen abzumildern, da sie genauer, wenn auch höherdimensional, als die KL-Erweiterung ist. Mit der vorgeschriebenen mittleren Biegeflexibilität \(\mu _{C, true}\) und der unteren Dreiecksmatrix \(\varvec{L}\), die sich aus der Cholesky-Zerlegung ergibt, lautet das Flexibilitätsfeld wie folgt

wobei \(\varvec{\xi }\) ein Vektor unkorrelierter Standard-Gaußscher Zufallszahlen ist. Die Realisierung von \(\varvec{\xi }\) ergibt das Referenzmuster der Flexibilität.

Einerseits betrachten wir die in „Cantilever-Beam-Modell“ beschriebene Modalanalyse des Cantilever-Balkens. Hier bilden die ersten \(\kappa\)-Eigenfrequenzen des Systems \(f_1, f_2, \dots ,f_{\kappa }\), die durch Lösen des Eigenwertproblems des Systems erhalten wurden, den Antwortvektor. Konkret führt die Referenzflexibilität \(\varvec{C}_{true}\) des Auslegerbalkens zu den damit verbundenen Referenzeigenfrequenzen. Diesen Eigenfrequenzen wird dann ein Vektor unabhängiger Gaußscher Zufallsvariablen überlagert, um das Messrauschen zu emulieren.

Andererseits betrachten wir den im „Cantilever-Beam-Modell“ beschriebenen Ausleger, wenn er einer statischen Belastung F bei \(t=L\) ausgesetzt ist. Hier umfassen \(\kappa\)-Messungen der statischen Auslenkung im gleichen Abstand den Antwortvektor. Nachdem wir die Referenzflexibilität \(\varvec{C}_{true}\) auf das Auslegermodell angewendet haben, berechnen wir die damit verbundenen Referenzauslenkungen. Um Messrauschen zu simulieren, werden die statischen Auslenkungen mit unabhängigen und identisch verteilten Gaußschen Zufallsvariablen überlagert.

Als nächstes verwenden wir verrauschte Messungen der ersten 10 simulierten Eigenfrequenzen des Auslegerbalkens mit dem Referenzflexibilitätsvektor. Anschließend wird aus diesen verrauschten Eigenfrequenzmessungen die Referenzflexibilität für alle Positionen innerhalb des Strahls geschätzt. Beachten Sie, dass die Referenzflexibilität im Kontext des Inversionsverfahrens unbekannt ist.

Abbildung 4 zeigt ein Flussdiagramm des Inferenzverfahrens, während es in den folgenden Absätzen detaillierter beschrieben wird.

Die Rekonstruktion der unbekannten Referenzflexibilität mit den in „Methoden“ beschriebenen Methoden erfordert die starke Annahme, dass der Flexibilitätsmittelwert konstant, also stationär ist, und die Flexibilitätskovarianz. Wir gehen von der gleichen Kovarianz aus, einem exponentiellen Kovarianzkern mit der Korrelationslänge \(l=L/5\) und einem Exponenten von \(\gamma =2\), wie er für das Referenzmodell verwendet wird, um die Vergleichbarkeit der Flexibilitätsparametrisierung aufrechtzuerhalten. Diese Annahmen können durch eine parametrisierte Kernelfamilie und eine Schlussfolgerung ihrer Parametrisierung zusammen mit den KL-Parametern48 gelockert werden. Das rekonstruierte FE-Modell weist 50 quadratische Elemente auf, was zu einer räumlichen Bewertung der Flexibilität an 101 Knoten führt. Diese gröbere Diskretisierung im Vergleich zum Referenzmodell wird wiederum gewählt, um ein inverses Verbrechen zu vermeiden49.

Um die Zufallsdimensionalität zu reduzieren, diskretisieren wir das unbekannte Zufallsfeld mit der KL-Entwicklung aus Gl. (2) gekürzt auf \(s=6\) Terme. Unter der Annahme eines konstanten Mittelwerts ergibt dies \(s+1\) unbekannte Zufallsvariablen, die den diskreten Vektor der Unbekannten \(\varvec{\theta }\) bilden, nämlich den Mittelwert und die s KL-Parameter. Nach Huang et al.45 erklärt diese Konfiguration \(\alpha =98\%\) der Varianz der Zufallsflexibilität.

Durch die Verwendung der KL-Erweiterung wenden wir im Wesentlichen einen Gaußschen Prozess vor der Flexibilität an. Innerhalb dieser A-priori-Wahrscheinlichkeit wird der Flexibilitätsmittelwert entsprechend verteilt

und die KL-Parameter sind mit einem normalen Prior ausgestattet:

Diese vorherigen Verteilungen können analog zur Regularisierung bei der Optimierung interpretiert werden. Der gewählte Normal-Prior für den Flexibilitätsmittelwert stellt eine schwache Annahme dar, während der Prior für die KL-Koeffizienten eine Annahme für die Flexibilitätsvarianz kodiert.

Die realen Rauschstandardabweichungen stellen die ideale Wahl für die Wahrscheinlichkeitsstandardabweichungen dar, da ungenaue Messungen nicht fälschlicherweise als genau interpretiert werden und umgekehrt genauere Messungen nicht als übermäßig verrauscht angesehen werden, was zu einem Informationsverlust führen würde. In der Praxis sind die Fehler- oder Rauscheigenschaften unbekannt, können aber anhand der statistischen Informationen aus wiederholten Messungen geschätzt werden. Wir definieren die Wahrscheinlichkeiten mit einer höheren Standardabweichung als die des verwendeten synthetischen Messrauschens und unterschätzen somit die Genauigkeit der Messungen. Die Zahlenwerte sind zusammen mit allen Parametern, die zur Reproduktion der Ergebnisse notwendig sind, im Online-Anhang S1 zusammengestellt. Die Likelihood-Funktion für vektorwertige Messungen in Gl. (10) impliziert, dass jede Eigenfrequenz nur einmal und nicht wiederholt gemessen wird.

Die Standardabweichung der Messwahrscheinlichkeit wird als Funktion der Häufigkeit ausgedrückt. Die Grafik zeigt den gewählten quadratischen Anstieg der Messwahrscheinlichkeitsstandardabweichung \(\sigma _j\) über der Zahl der entsprechenden Eigenfrequenz. Diese Gewichtung betont den Einfluss der ersten Eigenfrequenzen. Die höhere Likehihood-Standardabweichung für die höheren Eigenfrequenzen spiegelt die Erwartung wider, dass die Messgenauigkeit mit zunehmender Frequenz abnimmt.

Die Standardabweichung der Likelihood steigt quadratisch mit der Nummer der entsprechenden Eigenfrequenz, siehe Abb. 3. Dem Matching niedriger Eigenfrequenzen kommt somit eine größere Bedeutung zu.

Der Slice-Sampling-Algorithmus generiert Stichproben \(\varvec{\theta }^{(i)}\) aus dem Posterior in Gl. (3). Mehrere Ketten mit unterschiedlichen Anfangswerten tragen dazu bei, den Einfluss des Anfangswerts der abgetasteten Markov-Kette abzuschwächen und gleichzeitig Einbrennproben von der Anzahl der verwendeten Proben U auszuschließen. Die Auswertung der angewendeten KL-Erweiterung an den hinteren Proben erzeugt dann die entsprechenden Proben von das hintere Zufallsfeld.

Allgemeines Verfahren zur Rekonstruktion des Referenz-Zufallsfelds bei gegebenen verrauschten Eigenfrequenzen und Annahme der Referenz-Kovarianz, Priors und Messrauscheigenschaften mit Bayes'scher Inferenz. Der obere Teil bezieht sich auf die Berechnung der Referenzeigenfrequenz aus der Referenzflexibilität. Angesichts verrauschter Beobachtungen dieser Referenzfrequenzen besteht das Ziel des unten beschriebenen Verfahrens darin, die Referenzflexibilität abzuschätzen. Hier markiert die gestrichelte Linie den Teil der Schlussfolgerung, der bei jedem Schritt in der Kette berechnet werden muss.

Zusammen mit dem Erwartungswert der Flexibilität,

Wir berechnen Konfidenzintervalle, die 95 % der Werte von \(C^{(u)}(t_j)\) für jede Position \(t_j\) enthalten. Schließlich wird der quadratische mittlere prozentuale Fehler (RMSPE) in Bezug auf die Referenzflexibilität erhalten als

Die Identifizierung der strukturellen Flexibilität mithilfe statischer Durchbiegungsdaten erfolgt nach dem gleichen allgemeinen Verfahren wie in „Flexibilitätsidentifizierung mithilfe von Eigenfrequenzmessungen aus der Modalanalyse“ beschrieben. In diesem Abschnitt werden die Schritte, die die beiden Verfahren gemeinsam haben, nicht wiederholt, sondern vielmehr die Unterschiede hervorgehoben.

Hier bilden verrauschte Messungen der simulierten statischen Auslenkungen des Auslegers mit der Referenzflexibilität die Daten. Mit diesen 10 statischen Auslenkungen im gleichen Abstand schätzen wir die unbekannte Referenzflexibilität \(\varvec{C}_{true}\).

Ersetzt man im Verfahrensdiagramm, siehe Abb. 4, die Modalanalyse durch die statische Analyse bzw. die Eigenfrequenzen durch statische Auslenkungen, so erhält man das Inversionsverfahren mittels statischer Analyse.

Im Gegensatz zur Inversion mittels Modalanalyse wählen wir für die statische Analyse eine konstante Likelihood-Standardabweichung. Die Wahrscheinlichkeit folgt Gl. (10), wobei die statischen Auslenkungen einmal an jeder Position im gleichen Abstand gemessen werden.

In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der vorliegenden Studie vorgestellt. „Modalanalyse“ und „Statische Analyse“ berücksichtigen das Konfidenzintervall der Lösung über der Strahlkoordinate und „Die Auswirkungen des Signal-Rausch-Verhältnisses und der Flexibilitätskorrelationslänge“ untersucht die Auswirkungen des Signal-Rausch-Verhältnisses sowie der Flexibilität Korrelationslänge.

Abbildung 5 zeigt die Ergebnisse des Verfahrens für eine beispielhafte Realisierung der Zufallsflexibilität. Dabei markieren die strichpunktierten Linien die a priori unbekannte Referenzflexibilität. Abbildung 5a zeigt das Ergebnis mit der dynamischen Methode und Abbildung 5b zeigt zum Vergleich das Ergebnis mit der auf statischer Durchbiegung basierenden Methode. Beachten Sie, dass der vorgeschlagene Bayes'sche Ansatz eine Kette von Stichproben für \(\theta _i\) ergibt. Diese Stichproben können verwendet werden, um neben Mittelwert und Varianz auch die höheren statistischen Momente der Posterior-Verteilung abzuschätzen. Würde man die Analyse der Ergebnisse auf Mittelwert und Varianz beschränken, würde jegliche Schiefe des Seitenzahnbereichs an jeder Stelle unberücksichtigt bleiben, die in Abb. 5 durch die asymmetrischen Konfidenzintervalle sichtbar ist. Beachten Sie außerdem, dass das Verfahren ein instationäres hinteres Zufallsfeld erzeugt hat, da diese Momente über die Strahllänge nicht konstant sind.

Die folgenden Absätze interpretieren die Konfidenzintervalleigenschaften entlang der Strahlkoordinate t basierend auf insgesamt 100 Realisierungen der Flexibilität, sodass die Interpretationen im allgemeinen Sinne anwendbar sind.

Die Abbildungen zeigen die Ergebnisse des Inferenzworkflows für eine bestimmte Referenzflexibilität. Die linke Grafik entspricht der Modalanalyse, während die rechte Abbildung mit der statischen Analyse verbunden ist. Die jeweiligen strichpunktierten Linien zeigen die Referenzflexibilität, während die jeweiligen durchgezogenen Linien den geschätzten hinteren Mittelwert darstellen. Geringe Höhen der Konfidenzintervalle weisen auf eine höhere Sicherheit der Inferenzergebnisse am jeweiligen Standort hin.

Beim eigenfrequenzbasierten Ansatz und der gewählten Likelihood-Struktur ist die Größe des Konfidenzintervalls entlang der Strahlkoordinate t in etwa konstant. Die vorliegende Wahl der ersten 10 Eigenfrequenzen führt somit zu einer vergleichbaren Menge an Flexibilitätsinformationen für alle Raumpositionen.

Die Vermeidung nichtphysikalischer Anzeichen der Flexibilität ist mit dem eigenfrequenzbasierten Modell einfach, da negative Flexibilität zu einer negativen quadrierten Eigenfrequenz führt. Für diesen Fall wird die Wahrscheinlichkeit entsprechender Lösungskandidaten einfach auf Null gesetzt und wir erhalten hier somit eine rein positive Schätzung der Flexibilität.

Beim auf statischer Durchbiegung basierenden Ansatz erhöht sich das Konfidenzintervall mit zunehmendem Abstand von der Klemmung. Dies steht im Einklang mit der Annahme, dass das Biegemoment innerhalb des Balkens linear entlang der Balkenachse variiert, wobei der maximale Absolutwert an der Einspannung liegt. Da der Einfluss von Flexibilitätsschwankungen auf die Durchbiegung direkt vom Biegemoment abhängt, haben diese Schwankungen ihren größten Einfluss in der Nähe der Einspanngrenze. Umgekehrt enthalten die Auslenkungen verhältnismäßig mehr Informationen über die Flexibilität auf der linken Seite als auf der rechten Seite. Dies erleichtert die Fehlerausbreitung vom linken zum rechten Teil des Bereichs und führt schließlich zu einem schmalen Konfidenzintervall im linken Teil und einem breiten Konfidenzintervall im rechten Teil des Strahls.

Beim statischen ablenkungsbasierten Modell können aufgrund der Unterstützung des Gaußschen Zufallsfeldes \(C(t_j)\in \mathbb{R}\) innerhalb der Rekonstruktion einige Probleme mit dem Vorzeichen der Flexibilität auftreten. Hier verstößt die Schätzung gegen die physikalische Einschränkung, dass die Flexibilität an einigen Stellen auf der rechten Seite des Balkens positiv ist. Der Grund hierfür liegt in einer Mischung aus den Eigenschaften des Strahls und dem angenommenen Messrauschen. Der Kragarm weist auf seiner rechten Seite ein kleines Biegemoment auf, was zu einer kleinen Krümmung auf dieser Seite führt. Um die Ablenkungsmessungen zu simulieren, fügen wir den Ablenkungen synthetisches Gaußsches Rauschen hinzu. In Regionen auf der rechten Seite mit einer geringen Referenzkrümmung dominiert wahrscheinlich die Krümmung des Rauschens die Gesamtkrümmung innerhalb der simulierten Messungen. Da das Biegemoment die Flexibilität und die Krümmung verknüpft, schätzt die Rekonstruktion im Wesentlichen die Krümmung des Trägers. Dies erklärt, warum sich die aus dem synthetischen Messrauschen resultierende Krümmungskomponente auf die geschätzte Flexibilität ausbreiten und in einigen Fällen zu negativen Werten für die Flexibilität führen kann.

Diese Studie konzentriert sich auf die Untersuchung und den Vergleich zweier zerstörungsfreier Methoden zur Identifizierung von Materialparametern. Um die Wirksamkeit der dynamischen und statischen Methode zu untersuchen, demonstrieren wir die strategische Variation der Konfiguration des inversen Problems. Insbesondere erwarten wir, dass sowohl größere Korrelationslängen der Flexibilität als auch größere Signal-Rausch-Verhältnisse die Inversionsqualität verbessern und tatsächlich diese erwarteten Ergebnisse erzielt haben.

Vergleich der Leistung der Methoden, die durch sich ändernde inverse Problemkonfigurationen beeinflusst wird. Das linke Diagramm zeigt die Auswirkung sich ändernder Signal-Rausch-Verhältnisse, während das rechte Diagramm die Auswirkung der Flexibilitätskorrelationslänge zeigt.

Der Einfluss des Signal-Rausch-Verhältnisses (SNR) auf die Lösungsqualität wird mit einer systematischen Variation der Rauschstandardabweichung untersucht, siehe Abb. 6a. Um repräsentative Ergebnisse zu erhalten, wird das beschriebene Verfahren für 100 eindeutige Realisierungen der Referenzflexibilität pro Signal-Rausch-Verhältnis durchgeführt. Der in Gl. beschriebene Fehler (15) wird dann über die 100 Erkenntnisse gemittelt. Der Fehler nimmt für die gewählte SNR-Skala nichtlinear ab. Vergleichsweise niedrige Signal-Rausch-Verhältnisse führen zu einem Plateau im Fehler. Nach einem Knick in der Kurve führt ein höheres Messrauschen zu einem Abflachungsfehlerverhalten. Wir beobachten einen durchweg niedrigeren RMSPE, wenn wir den Ansatz mit statischen Ablenkungsmessungen anwenden, und eine Fehlerkonvergenz höherer Ordnung für die Resonanzfrequenzmethode. Beachten Sie, dass in der Praxis genauere Messungen durch Mittelung über mehrere wiederholte Messläufe erzielt werden können.

Die in Abb. 6b dargestellte Variation der Flexibilitätskorrelationslänge zeigt das erwartete Ergebnis. Der Fehler nimmt nichtlinear mit zunehmenden Ground-Truth-Korrelationslängen ab. Die Fehlerlücke zwischen den statischen und dynamischen Methoden verringert sich mit zunehmender Korrelationslänge. Die vergleichsweise großen Fehler im Bereich kleiner Korrelationslängen resultieren aus der höheren Komplexität der unbekannten Funktion. Dies wiederum entspricht einem zunehmend komplexeren Parameterraum, den das Inferenzverfahren durchlaufen muss. Im Gegenteil würde eine unendlich große Korrelationslänge einer konstanten Flexibilität entsprechen. Dies stellt den einfachsten Fall dar und wir erwarten hier die kleinsten Fehler.

Was die statische Analyse anbelangt, berücksichtigt diese Studie nicht die Unsicherheit hinsichtlich der Last und ihrer Anwendung auf die Probe. Diese Unsicherheiten breiten sich durch das System bis zu den Auslenkungen aus. Darüber hinaus ist die Messung der Auslenkungen mit Messfehlern behaftet. Herausforderungen beim Messrauschen bei Anwendungen im Mikromaßstab hängen mit physikalischen Einschränkungen in der Optik zusammen50. Makroskalige Anwendungen wie die in diesem Artikel untersuchte basieren einerseits auf Methoden wie der digitalen Bildkorrelation51. Andererseits verwenden sie optische aktive oder passive Markierungssysteme, die typischerweise Kameraaufbauten beinhalten52. Hier muss ein Kompromiss zwischen der abgedeckten Fläche und dem Kameraabstand gefunden werden, die beide durch den Blickwinkel gekoppelt sind. Maletsky et al.53 berichten von einer nichtlinearen Beziehung zwischen Kameraabstand und SNR und finden für einen generischen Aufbau ein Gesamt-SNR von 45 dB. Tatsächlich sind SNRs von mehr als 60 dB für dynamische Reaktionsmessaufbauten bereits erreichbar54. Berücksichtigt man, dass die Messgenauigkeit dynamischer Methoden die statischer Methoden übertrifft8, wirft dies ein ungünstiges Licht auf die Modalanalyse.

Diese Studie berücksichtigt die modalen und statischen Analysen eines identisch konfigurierten, eingespannten Auslegerträgers und berücksichtigt nicht die Unsicherheit der Randbedingungen. Allerdings wird eine experimentelle Modalanalyse typischerweise mit Frei-Frei-Randbedingungen durchgeführt, die in der Praxis genauer reproduzierbar sind als andere Montagebedingungen55. Dieser Vorteil der Methode wird hier gegen die Vergleichbarkeit gegenüber der statischen Analyse eingetauscht.

Debruyne et al.39 halten den Nutzen der experimentellen Modalanalyse für ihr Modellaktualisierungsverfahren für zweifelhaft, wenn die Messqualität nicht ausgezeichnet ist. Ihre Schlussfolgerung wird durch unsere Ergebnisse bestätigt, die aus einer Umgebung mit deterministisch bekannten Modellierungsfehlern stammen. Mehrez et al.38 geben an, dass sich ihre Anzahl an Datenpunkten als für ihre Problemkonfiguration geeignet erweist. Unsere Ergebnisse ergänzen dies, indem sie SNR und Fehler in Beziehung setzen, was eine Schätzung der erforderlichen Anzahl von Datenpunkten ermöglicht, um eine Fehlertoleranz angesichts des SNR einer einzelnen Messung zu erreichen. Ihr Konfidenzbereich macht ca. 30 % des Mittelwerts aus. Unsere Resonanzfrequenzmethode entspricht dieser Schätzgenauigkeit für hohe Signal-Rausch-Verhältnisse und Ground-Truth-Zufallsfeldkorrelationslängen nahe oder größer als L. Dies ist zum einen auf den in dieser Studie verwendeten Gradienten-agnostischen Abtastalgorithmus zurückzuführen Dies ist andererseits auf die unterschiedlichen Informationen zurückzuführen, die der Methode zur Verfügung gestellt werden, da in der Studie von Mehrez et al.38 lokale statt globale Daten verwendet werden.

Wir entwickeln eine neue Bayes'sche Resonanzfrequenzmethode mit reduzierter stochastischer Dimensionalität zur Identifizierung der räumlich variierenden strukturellen Flexibilität eines Auslegerbalkens. Es weist einen großen Vorteil im Vergleich zu bestehenden zerstörungsfreien Methoden zur Bestimmung lokaler Materialeigenschaften im Makromaßstab mithilfe dynamischer Daten auf. Da es nicht wie herkömmliche Methoden auf lokale Informationen angewiesen ist, kann es ohne Sichtverbindung zur Probe arbeiten. Dies ist besonders wertvoll im Zusammenhang mit der Einführung funktional abgestufter Materialien. Letzteres fördert räumlich variierende Materialeigenschaften innerhalb geometrisch komplexer Baugruppen. Hier ermöglicht unser Verfahren eine zerstörungsfreie Prüfung bei vorhandenen Hinterschneidungen.

Wir erhalten Ergebnisse für die nichtlinearen Fehlereigenschaften in Bezug auf SNR und die Flexibilitätskorrelationslänge. Die Betrachtung des Einflusses des SNR zeigt, dass bei niedrigen Signal-Rausch-Verhältnissen eine Sättigung des Fehlers auftritt. Diese Ergebnisse werden mit denen in Beziehung gesetzt, die durch die Anwendung des Bayes'schen Verfahrens auf den Ausleger erhalten wurden, der einer statischen linearen elastischen Belastung ausgesetzt war.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass unter Verwendung identischer Rausch- und Flexibilitätskorrelationslängeneigenschaften Folgendes gilt:

Die auf statischen Auslenkungen basierende Inversion führt zu geringeren absoluten Fehlern.

Für den statischen Ansatz wird das Konfidenzintervall mit zunehmendem Abstand von der Klemme größer.

Die Höhe des Konfidenzintervalls bleibt bei Verwendung des dynamischen Ansatzes entlang des Balkens konstant.

Wir kommen außerdem zu dem Schluss, dass im Allgemeinen:

Größere Flexibilitätskorrelationslängen führen zu einer verbesserten Rekonstruktion.

Höhere Signal-Rausch-Verhältnisse reduzieren den Schätzfehler.

In der Praxis sollte bei der Wahl der Methode sorgfältig auf die Reproduzierbarkeit der realen Randbedingungen innerhalb der numerischen Modelle und insbesondere auf die mit den Versuchsaufbauten erreichbaren Signal-Rausch-Verhältnisse geachtet werden.

Derzeit sind keine zuverlässigen Daten verfügbar, die die räumliche Zufälligkeit von Materialeigenschaften beschreiben, und als Fallback werden Matérn-Kovarianzmodelle oder Sonderfälle wie isotrope Exponentialkerne verwendet, siehe48. Die systematische Ermittlung der Kovarianz aus solchen Daten für gängige Materialklassen, die damit verbundenen Herstellungsprozesse und technischen Anwendungen, die Heterogenität einführen, würde viele derzeit notwendige Annahmen überflüssig machen. Zukünftige Forschung muss den Einfluss dieser identifizierten Kovarianzmodelle und ihrer jeweiligen Parameter auf die Wirksamkeit unserer Methode untersuchen. Dies kann die Konstruktion zusammengesetzter Kovarianzkerne aus Basiskernen umfassen, beispielsweise durch Addition oder Multiplikation, siehe Hofmann et al.56. Diese Eigenschaft könnte genutzt werden, um Kerne über räumliche Dimensionen hinweg zu kombinieren und unter anderem anisotrop heterogene Materialien zu modellieren.

Dieser Artikel zeigt die Lösung des inversen Problems für eine einzelne interessierende Größe, die von einer Raumkoordinate abhängt. In der Praxis können mehr als ein Parameter relevant sein. Im Zusammenhang mit isotropen Materialien können der Schubmodul oder die Poissonzahl sowie die Massendichte relevant sein. Bei anisotropen Materialien werden zusätzlich die räumlichen Komponenten der elastischen Eigenschaften benötigt, um das Material vollständig zu charakterisieren. Dies verkompliziert das umgekehrte Problem. Die Berücksichtigung zusätzlicher Informationen verspricht jedoch eine Abmilderung dieser Auswirkungen. Für einige Materialklassen sind die räumlichen Komponenten der elastischen Eigenschaften linear korreliert. Speziell für Holz korreliert der Elastizitätsmodul in der Wachstumsrichtung eines Baumes linear mit dem Elastizitätsmodul in der radialen Richtung orthogonal zu den Jahresringen. Hier liegt der Pearson-Koeffizient für die lineare Korrelation häufig über \(r=0,5\). Voruntersuchungen haben gezeigt, dass die Einbeziehung von Kenntnissen über die Kreuzkorrelation nicht durchweg vorteilhaft ist. Umgekehrt hängt der Erfolg der Methode unter anderem von der Kreuzkorrelationsamplitude und dem Algorithmus ab, der für die Stichprobe aus der Posterior-Verteilung verwendet wird. Zukünftige Forschung muss diese Forschungslücke schließen und umfassende Ergebnisse liefern, die als Leitfaden für Forscher dienen.

Die im Rahmen der aktuellen Studie generierten Rohdaten sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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TUM School of Engineering and Design, Fachbereich Technische Physik und Informatik, Lehrstuhl für Vibroakustik von Fahrzeugen und Maschinen, Technische Universität München, 85748, Garching bei München, Deutschland

Karl-Alexander Hoppe, Martin GT Kronthaler, Kian Sepahvand & Steffen Marburg

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Korrespondenz mit Karl-Alexander Hoppe.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Hoppe, KA., Kronthaler, MGT, Sepahvand, K. et al. Identifizierung der räumlich unbestimmten Steifigkeit eines Auslegerträgers. Sci Rep 13, 1169 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27755-5

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Eingegangen: 04. Oktober 2022

Angenommen: 06. Januar 2023

Veröffentlicht: 20. Januar 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-27755-5

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